В статье, опубликованной в журнале Frontiers in Physics, был представлен метод математического выравнивания искривленного "пространственно-временного континуума". Оказывается,это очень просто с помощью математического объекта, названного Alena Tensor. В искривленном "пространственно-временном континууме" это приводит к уравнениям Эйнштейна, а в плоском пространстве описывается квантовомеханически... Вот эти формулы создания "кольца всевластия"

Математики от физики тензор энергии-импульса Tαβ для системы с электромагнитным полем в данном пространстве-времени, описывают метрическим тензором gαβ, равным

Tαβ=ϱUαUβ−(c2ϱ+Λρ)(gαβ−ξhαβ),(1)
где ϱo — плотность остаточной массы, γ — гамма-фактор Лоренца, а

ϱ≡ϱoγ,(2)
1ξ≡14gμνhμν,(3)
Λρ≡14μoFαμgμγFβγgαβ,(4)
hαβ≡2FαδgδγFβγFαδgδγFβγgμβFαηgηξFμξ√.(5)
В приведенных выше уравнениях Fαβ
  представляет собой тензор электромагнитного поля, а тензор энергии-напряжения для электромагнитного поля, который обозначается как ϒαβ, может быть представлен следующим образом:

Υαβ≡Λρ(gαβ−ξhαβ)=Λρgαβ−1μoFαδgδγFβγ.(6)
Благодаря предложенной поправке к механике сплошной среды в плоском пространстве-времени Минковского возникает

∂αUα=−dγdt→∂αϱUα=0.(7)
Таким образом, обозначая плотность четырех импульсов как ϱUμ = ϱoγ Uμ, полная плотность четырех сил fμ, действующих в системе, равна

fμ≡ϱAμ=∂αϱUμUα.(8)
Обозначая остаточную плотность заряда в системе через ρo и

ρ≡ρoγ,(9)
электромагнитный четырехток Jα равен

Jα≡ρUα=ρoγUα.(10)
Давление p в системе равно

p≡c2ϱ+Λρ.(11)
В плоском пространстве-времени Минковского полная плотность четырех сил fα, действующих в системе, рассчитанная по обращению в нуль ∂β Tαβ, представляет собой сумму электромагнитных (fαEM)
  и гравитационный (fαgr)
, а сумма оставшихся (fαoth)
  Плотность четырех сил выглядит следующим образом:

fα=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪fαEM≡∂βΥαβ(электромагнитный)+fαgr≡(gαβ−ξhαβ)∂βp(гравитационный)+fαoth≡ϱc2 ΛρfαEM(сумма оставшихся сил) .(12)
Как показано в [19], в искривленном пространстве-времени (gαβ = hαβ) представленный метод воспроизводит уравнения поля Эйнштейна с точностью 4πGc4
  постоянной и с космологической постоянной Λ, зависящей от инварианта тензора электромагнитного поля Fαγ
:

Λ=−πGc4μoFαμhμγFβγhαβ=−4πGc4Λρ,(13)
где hαβ представляет собой метрический тензор пространства-времени, в котором все движение происходит вдоль геодезических, и где Λρ описывает плотность энергии вакуума.

Стоит отметить, что хотя в плоском пространстве-времени Минковского Λρ имеет отрицательное значение из-за принятой метрической сигнатуры, это не определяет его значение в искривленном пространстве-времени. Поэтому возможны и решения с отрицательной космологической постоянной, что обсуждается в литературе [27–29].

Было также показано, что в этом решении тензор Эйнштейна описывает кривизну пространства-времени, связанную с исчезновением в искривленном пространстве-времени плотностей четырех сил fαgr+fαoth
  и, следовательно, связано с кривизной, ответственной за гравитацию, только тогда, когда другими силами пренебрегают.

Предложенный метод позволяет добавлять дополнительные поля, сохраняя при этом его свойства. Вместо ϒαβ можно определить другой тензор энергии-импульса, описывающий поле (например, описывающий сумму нескольких полей), и вставить его в тензор энергии-импульса Tαβ аналогично изложенному выше. В результате исчезновения четырехдивергенции Tαβ в плоском пространстве-времени будут получены плотности четырех сил, связанные с новым полем, а в искривленном пространстве-времени уравнения перейдут в EFE с космологической постоянной, зависящей от инварианта рассматриваемого новый тензор напряженности поля.

2 Лагранжева плотность системы
Поскольку для рассматриваемого метода известен переход к искривленному пространству-времени, остальная часть статьи будет посвящена расчетам в пространстве-времени Минковского при наличии электромагнитного поля, где ηαβ представляет собой метрический тензор Минковского.

Используя упрощенные обозначения

dln(p)dτ=Uμ∂μln(p)=Uμ∂μpp,(14),(14)
видно, что плотности четырех сил, возникающие в результате полученного тензора энергии-импульса (12) в плоском пространстве-времени Минковского, можно записать следующим образом:
:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪fαgr=(ηαβ−ξhαβ)∂βp=dln(p)dτϱUα−Tαβ∂βln(p)fαEM=Λρp(fα−fαgr)fαoth=ϱc2p(fα−fαgr),(15)
где fμEM
  также можно представить в терминах электромагнитного четырехпотенциала и четырехтока. Это означает, что для полного описания системы и получения лагранжевой плотности достаточно найти явное уравнение для гравитационной силы или некоторые калибровки электромагнитного четырехпотенциала.

Обращаясь к определениям из раздела 1.1, можно заметить, что, предложив следующий электромагнитный четырехпотенциал Aμ
,

Аμ≡−ΛρpϱoρoUμ,(16)
получаем плотность электромагнитных четырёх сил fαEM
  в виде

fαEM=Jβ(∂αAβ−∂βAα)=Λρp(fα−dln(p)dτϱUα+ϱc2∂αln(p)),(17)
где Jβ — электромагнитный четырехток и использовано свойство метрики Минковского:

UβUβ=c2→Uβ∂αUβ=12∂α(UβUβ)=0.(18)
Плотности четырех сил, действующие в системе, теперь можно описать следующим равенством:

Jβ(∂αAβ−∂βAα)+ϱUβ(∂βϱc2pUα−∂αϱc2pUβ)=ϱUβ(∂βUα−∂αUβ)=fα.(19)
Сравнивая уравнения (15) и (17), видно, что введенный электромагнитный четырехпотенциал дает

0=(Tαβ−ϱc2ηαβ)∂βln(p),(20)
что эквивалентно наложению на нормированный тензор энергии-импульса следующего условия

0=∂β(TαβημγTμγ)+∂αln(ημγTμγ),(21)
и что дает гравитационную плотность четырех сил в пространстве-времени Минковского в виде

fμgr=ϱ(dln(p)dτUμ−c2∂μln(p)).(22)
Теперь можно показать, что предлагаемый электромагнитный четырехпоточный

Сначала, вспомнив классическую лагранжианскую плотность [30] для электромагнетизма, можно показать, почему в свете выводов из [19] и выше она не кажется корректной и тем самым затрудняет создание симметричного напряжения- тензор энергии [31]. Классическое значение плотности лагранжиана электромагнитного поля, записанное с использованием обозначений, использованных в статье, равно

−LEMclassic=Λρ+AμJμ.(23)
Помимо очевидного сомнения, которое наблюдается при выборе другой калибровки четырехпотенциала Aμ
, меняется значение плотности лагранжиана и можно заметить, что при рассматриваемом электромагнитном четырехпотенциале такая плотность лагранжа равна

−LEMclassic=Λρ−ΛρpϱoρoUμUμρoγ=Λρ−Λρϱc2p=Λ2ρp.(24)
Замечено, что указанная выше лагранжева плотность не является инвариантной относительно градиентов по четырем позициям, и Aμ
  и Jμ являются зависимыми, что не учитывается в классическом расчете:

AαAμAμ=JαAμJμ.(25)
Приведенный выше анализ дает

∂ln(1AμAμ√)∂Aα=−JαAμJμ=pϱc2JαΛρ.(26)
Можно разложить

ln(1AμAμ√)=ln(pρoϱoc)−ln(Λρ),(27)
и упростим (26) до

∂ln(pρoϱoc)∂Aα−∂ln(Λρ)∂Aα=Jαϱc2+JαΛρ,(28)
где приведенное выше уравнение дает

∂ln(Λρ)∂Aα=−JαΛρ,(29)
что приводит к выводу, что Λρ действует как плотность Лагранжа для системы

∂Λρ∂Aα=∂ν(∂Λρ∂(∂νAα))=−Jα,(30)
что подтверждает вывод из [32] и что дает тензор энергии-импульса для системы в виде

Tαβ=1μoFαγ∂βAγ−Λρηαβ.(31)
Доказательство корректности тензора электромагнитного поля (обозначенного ϒαβ) позволяет увидеть это решение следующим образом:

fβEM=∂αΥαβ=JγFβγ−1μoFαγ∂αFβγ,(32)
и что дает следующее свойство тензора электромагнитного поля:

Fαγ∂α∂γAβ=Fαγ∂β∂αAγ.(33)
Используя приведенную выше замену, можно заметить, что

∂αΥαβ=∂α1μoFαγ∂γAβ−∂α1μoFαγ∂βAγ=1μoFαγ∂β∂αAγ−Jγ∂γAβ−∂α1μoFαγ∂βAγ.(34)
Поэтому инвариантность Λρ относительно Aα
  и ∂νAα
  является одновременно условием корректности тензора электромагнитного напряжения-энергии и Λρ в роли плотности лагранжиана

0=∂βΛρ=∂Λρ∂(∂αAγ)∂β(∂αAγ)+∂Λρ∂Aγ∂βAγ=1μoFαγ∂β∂αAγ−Jγ∂βAγ=∂α1μoFαγ∂βAγ,(35)
откуда для (34) следует, что

∂αΥαβ=Jγ∂βAγ−Jγ∂γAβ=fβEM.(36)
Уравнения (1), (6) и (31) дают

1μoFαγ∂γAβ=ϱUαUβ−c2ϱΛρΥαβ,(37)
и что дает второе представление тензора энергии-импульса:

Tαβ=pϱc2⋅1μoFαγ∂γAβ−Λρc2UαUβ=pϱc2∂γ1μoFαγAβ.(38)
После четырехдивергенции она дает дополнительное выражение для связи между силами и дает полезные подсказки о поведении системы при переходе к описанию в искривленном пространстве-времени.

3 Плотность гамильтониана и передача энергии
Наблюдая за плотностью гамильтониана как H
  из (31) получаем

H≡T00=1μoF0γ∂0Aγ−Λρ.(39)
Вышеуказанная плотность гамильтониана согласуется с классической плотностью гамильтониана для электромагнитного поля [33], за исключением того, что эта плотность гамильтониана в настоящее время рассматривается для областей без источников. Согласно выводам предыдущих разделов, эта плотность гамильтониана описывает всю систему с электромагнитным полем, включая гравитацию и другие плотности четырех сил, возникающие в результате рассматриваемого тензора энергии-импульса. Следовательно, приведенные выше уравнения могут существенно упростить уравнения квантовой теории поля ([34)–(36)], что будет показано в этом разделе для целей КЭД.

Вначале можно заметить, что в преобразованном (31)

−Tα0=−1μoFαγ∂γA0+Υα0,(40)
первая строка электромагнитного тензора энергии-напряжения ϒα0 представляет собой четырехвектор, представляющий плотность энергии электромагнитного поля, и вектор Пойнтинга [37] — четырехвектор Пойнтинга. Следовательно, исчезающая четырехдивергенция Tα0 должна представлять собой теорему Пойнтинга. Действительно, свойства (33) и (35) обеспечивают такое равенство

0=−∂αTα0=JγF0γ+∂αΥα0.(41)
Далее можно ввести вспомогательную переменную ɛ с размерностью плотности энергии, определяемой следующим образом:

cε≡−1μoF0μdAμdτ,(42)
и сравниваем результат

−UβT0β=cε+cγΛρ,(43)
между двумя определениями тензоров (31) и (38) можно заметить, что должно выполняться

−pϱc2⋅1μoF0μ∂μAβ=−pϱc2μo⋅(UβF0μ∂μA0cγ+A0cγF0μ∂μUβ)=εcUβ−pϱc2A0γcμoF0μ∂μUβ(44)
потому что вторая компонента выше обращается в нуль, сжимаясь с Uβ, из-за свойства метрики Минковского (18). Поэтому (31) и (38) также дают следующее:

−T0β=εϱcpUβ−cϵoA0γF0μ∂μUβ+Υ0β,(45)
где ϵo — электрическая диэлектрическая проницаемость вакуума, а

Υ0βUβ=cεΛρp+cγΛρ.(46)
Поскольку ∂μp = ∂μϱc2, то из (44) получаем

εγ=cϵoA0γF0μ∂μγc,(47)
а благодаря (44), подставленному в (38), также получаем

−T0β=ε+ΛργcUβ−pϱc2cϵoA0γF0μ∂μUβ.(48)
Поскольку из (1) и (6) для T00 получаем

H=ϱc2γ2−pΛρΥ00.(49)
Поэтому, сравнивая нулевую компоненту (45)

H=−εγϱc2p+εγ−Υ00=εγ−HΛρϱc2−pΛρΥ00,(50)
к (49) и сравнивая это с (48)

H=−εγ−Λργ2+pϱc2εγ=Λρ(εγϱc2−γ2),(51)
можно заметить, что

εγ=ϱc2γ2+ϱc2(52)
является допустимым решением системы, что дает

Н=Λρ,(53)
1cγUβT0β=−ϱoc2γ−p.(54)
Существует целый класс решений (52) в виде εγ=ϱc2γ2+K⋅ϱc2
; однако К<>1
  не согласуется со следующими выводами. Также стоит отметить, что полученные растворы на H=L=Λρ
  означает, что в системе нет потенциала в классическом понимании и, таким образом, динамика системы зависит сама от себя. Это именно то, чего можно было бы ожидать от описания, воспроизводящего общую теорию относительности в плоском пространстве-времени.

Из анализа уравнения. 45, то можно заключить, что после интегрирования -1cT0β
  по объему полная энергия, переносимая в изолированной системе, должна быть суммой четырехимпульса и четырехвекторов, описывающих передачу энергии, связанную с полями. Это согласовывалось бы с выводом из [38] о том, что «уравнения движения материи не нужно вводить отдельно, а следуют уравнениям поля». Это означало бы, что каноническая плотность четырехимпульса является лишь частью тензора энергии-импульса.

Поэтому по аналогии с четырехвектором Пойнтинга 1cΥ0β
, можно ввести четырехвектор Zβ, понимаемый как его эквивалент для остальных взаимодействий, и переписать (45) в виде

−1cT0β=ϱoUβ+Zβ+1cΥ0β,(55)
где

Zβ≡ρoAβ+ϱc2γ2pϱoUβ−ϵoA0γF0μ∂μUβ.(56)
Приведенный выше результат гарантирует, что каноническая плотность четырехимпульса для системы с электромагнитным полем, как и ожидалось, зависит от четырехпотенциала и плотности заряда. Это подтверждает ранее сделанное утверждение о необходимости установки K=1.
  и делает видимой его физическую интерпретацию. Также стоит отметить, что −ϵoA0γF0μ∂μUβ
, в силу своих свойств, может быть связан с некоторыми описаниями спина.

Можно также отметить, что приведенное выше решение дает p < 0, поскольку плотность энергии электромагнитного поля равна

Υ00=Λρp(ϱc2γ2−Λρ),(57)
где Λρ <0 в плоском пространстве-времени из-за принятой метрической сигнатуры. Таким образом, Zβ также можно упростить до

Zβ=Υ00ΛρϱoUβ−ϵoA0γF0μ∂μUβ.(58)
Наконец, можно определить еще одну калибровку À γ
  электромагнитного четырехпотенциала Aγ
  следующим образом:

Ā γ≡Aγ−∂γAβXβ=−Xβ∂γAβ,(59)
и следует отметить, что

−XβT0β=1μoF0γĀ γ+XβΥ0β.(60)
Четырехдивергенция T0β исчезает, поэтому (53) указывает на то, что

Хβ∂αT0β=0,(61)
который дает

∂αXβT0β=T0α.(62)
Приведенное выше уравнение дает еще два важных вывода:

• 1cXβT0β
  может играть роль плотности главной функции Гамильтона;

• Основная функция Гамильтона может быть выражена только на основе электромагнитного поля, поэтому в отсутствие электромагнитного поля она исчезает.

Все приведенные выше уравнения также приводят к выводу, что (54) может также действовать как лагранжева плотность в классическом релятивистском описании, основанном на четырехвекторах.

Таким образом, можно обобщить все вышеизложенное и предложить метод описания системы с использованием классической теории поля для точечных частиц.

4 Точечные частицы и их квантовая картина
Прежде всего следует отметить, что рассуждения, представленные в разделе 3, меняют интерпретацию того, что означает релятивистский принцип наименьшего действия. Как можно заключить из вышесказанного, не существует инерциальной системы, в которой не действуют поля, а в отсутствие полей лагранжиан, гамильтониан и главная функция Гамильтона обращаются в нуль. Поскольку метрический тензор (5) для описания в искривленном пространстве-времени зависит только от тензора электромагнитного поля, то кажется очевидным, что в рассматриваемой системе отсутствие электромагнитного поля означает фактическое исчезновение пространства-времени и отсутствие какого-либо действия.

Тогда можно ввести обобщенный канонический четырехимпульс Hμ как четырехградиент главной функции Гамильтона S

Hμ≡−1c∫T0μd3x≡−∂μS,(63)
где

−S≡HμXμ.(64)
Из предыдущих разделов можно также заключить, что канонический четырехимпульс должен иметь форму

Hμ=Pμ+Vμ,(65)
где

Vμ≡∫Zμ+1cΥ0μd3x,(66)
и где четырехимпульс Pμ теперь можно считать просто «еще одной калибровкой» −Vμ:

−∂αPμ=∂α∂μS+∂αVμ.(67)
Поскольку в пределе инерциальной системы получается PμXμ = mc2τ и, следовательно, для обеспечения обращения в нуль главной функции Гамильтона в инерциальной системе можно ожидать, что

VμXμ≡−mc2τ,(68)
что также привело бы к исчезновению в лагранжиане L инерциальной системы для точечной частицы в виде

−γL=UμHμ=FμXμ,(69)
где Fμ — четырехсила. Уравнение 48 дает

Hμ=−γLc2Uμ+Sμ,(70)
где

Sβ≡∫ϵoΛργcρoF0μ∂μUβd3x,(71)
и где SβUβ
  исчезает, то, что получается из

Sβ=dSdτ1c2Uβ−∂βS.(72)
В приведенном выше уравнении главная функция Гамильтона, обобщенный канонический четырехимпульс и лагранжиан исчезают для инерциальной системы, как и ожидалось.

С

SμSμ=HμHμ−(γLc)2,(73)
поэтому для обеспечения совместимости с уравнениями квантовой механики достаточно рассмотреть свойства SμSμ
. Например, если

SμSμ=m2c2−(γLc)2,(74)
затем, введя квантовую волновую функцию Ψ в виде

Ψ≡e±iKμXμ,(75)
где Kμ — волновой четырехвектор, связанный с каноническим четырехимпульсом

ℏKμ≡Hμ,(76)
из (73) получаем уравнение Клейна–Гордона следующего вида:

(□+m2c2ℏ2)Ψ=0.(77)
Это показывает, что в дополнение к согласованию с QFT (39) представляется возможным и первое квантование, которое позволяет провести дальнейший анализ системы с точки зрения человека.оптимизм квантовой механики, устраняющий проблему появления отрицательной энергии в растворах [39].

Приведенное выше представление позволяет анализировать систему в квантовом подходе, классическом подходе, основанном на (40), и введении в (5) зависимой от поля метрики для искривленного пространства-времени, что связывает ранее расходившиеся описания физических систем.